La máquina de Turing consta de un cabezal lector/escritor y una cinta infinita en la que el cabezal lee el contenido, borra el contenido anterior y escribe un nuevo valor. Las operaciones que se pueden realizar en esta máquina se limitan a:
avanzar el cabezal lector/escritor hacia la derecha.
avanzar el cabezal lector/escritor hacia la izquierda.
El cómputo es determinado a partir de una tabla de estados de la forma:
(estado, valor) (nuevo estado, nuevo valor, dirección)
Esta tabla toma como parámetros el estado actual de la máquina y el carácter leído de la cinta, dando la dirección para mover el cabezal, el nuevo estado de la máquina y el valor a ser escrito en la cinta.
Con este aparato extremadamente sencillo es posible realizar cualquier cómputo que un computador digital sea capaz de realizar.
Mediante este modelo teórico y el análisis de complejidad de algoritmos, fue posible la categorización de problemas computacionales de acuerdo a su comportamiento, apareciendo así, el conjunto de problemas denominados P y NP, cuyas soluciones en tiempo polinómico son encontradas según el determinismo y no determinismo respectivamente de la máquina de Turing.
De hecho, se puede probar matemáticamente que para cualquier programa de computadora es posible crear una máquina de Turing equivalente. Esta prueba resulta de la Tesis de Church-Turing, formulada por Alan Turing y Alonzo Church, de forma independiente a mediados del siglo XX.
La idea subyacente es el concepto de que una máquina de Turing es una persona ejecutando un procedimiento efectivo definido formalmente, donde el espacio de memoria de trabajo es ilimitado, pero en un momento determinado sólo una parte finita es accesible. La memoria se divide en espacios de trabajo denominados celdas, donde se pueden escribir y leer símbolos. Inicialmente todas las celdas contienen un símbolo especial denominado “blanco”. Las instrucciones que determinan el funcionamiento de la máquina tienen la forma, “si estamos en el estado x leyendo la posición y, donde hay escrito el símbolo z, entonces este símbolo debe ser reemplazado por este otro símbolo, y pasar a leer la celda siguiente, bien a la izquierda o bien a la derecha”. La máquina de Turing puede considerarse como un autómata capaz de reconocer lenguajes formales. En ese sentido es capaz de reconocer los lenguajes recursivamente enumerables, de acuerdo a la jerarquía de Chomsky. Su potencia es, por tanto, superior a otros tipos de autómatas, como el autómata finito, o el autómata con pila, o igual a otros modelos con la misma potencia computacional
Una máquina de Turing con una sola cinta puede ser definida como una 7-tupla , donde
es un conjunto finito de estados.
es un conjunto finito de símbolos distinto del espacio en blanco, denominado alfabeto de máquina.
es un conjunto finito de símbolos de cinta, denominado alfabeto de cinta.
es el estado inicial.
es un símbolo denominado blanco, y es el único símbolo que se puede repetir un número infinito de veces.
es el conjunto de estados finales de aceptación.
es una función parcial denominada función de transición, donde es un movimiento a la izquierda y es el movimiento a la derecha.
Ejemplo Definimos una máquina de Turing sobre el alfabeto {0,1}, donde 0 representa el símbolo blanco. La máquina comenzará su proceso situada sobre un símbolo "1" de una serie. La máquina de Turing copiará el número de símbolos "1" que encuentre hasta el primer blanco detrás de dicho símbolo blanco. Es decir, situada sobre el 1 situado en el extremo izquierdo, doblará el número de símbolos 1, con un 0 en medio. Así, si tenemos la entrada "111" devolverá "1110111", con "1111" devolverá "111101111", y sucesivamente.
El conjunto de estados es y el estado inicial es . La tabla que describe la función de transición es la siguiente:
El funcionamiento de una computación de esta máquina se puede mostrar con el siguiente ejemplo (en negrita se resalta la posición de la cabeza lectora/escritora):
La máquina realiza su proceso por medio de un bucle, en el estado inicial s1, reemplaza el primer 1 con un 0, y pasa al estado s2, con el que avanza hacia la derecha, saltando los símbolos 1 hasta un 0 (que debe existir), cuando lo encuentra pasa al estado s3, con este estado avanza saltando los 1 hasta encontrar otro 0 (la primera vez no habría ningún 1). Una vez en el extremo derecho, añade un 1. Después comienza el proceso de retorno; con s4 vuelve a la izquierda saltando los 1, cuando encuentra un 0 (en el medio de la secuencia), pasa a s5 que continúa a la izquierda saltando los 1 hasta el 0 que se escribió al principio. Se reemplaza de nuevo este 0 por 1, y pasa al símbolo siguiente, si es un 1, se pasa a otra iteración del bucle, pasando al estado s1 de nuevo. Si es un símbolo 0, será el símbolo central, con lo que la máquina se detiene al haber finalizado su cómputo.
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